Bola Pada R³

Bola Pada R³

             Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.
Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.
     Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;
      
       S= x² + y² + z² = r2 ....(I)


Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:
MP = OP – OM
= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)
= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)
Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:
│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:
R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}
R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²


Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola  yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......
                          (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)
Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:
  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
  ( X2 - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²
    X2 - 2ax + a² +  y² – 2by + b² + z² – 2cz + c²  = R²


   x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0
       x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)
Dari persamaan (III) diatas, apabila:


·                       -2a = A
·                        -2b = B
·                       -2c = C dan 
·                        a² + b² + c² – R² = D

Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(IV)
Persamaan (IV) ini  disebut  BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:


·                       -2a = A, maka a = -½ A
·                      -2b = B, maka b = -½B
·                        -2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...

M(-½A, -½B, -½C) ….(V)

Jadi, bentuk (V) diatas  adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D
         R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)
Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola

Untuk bola dengan persamaan  x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 (IV) diatas  terdapat tiga kemungkinan, yaitu :
1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati
2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)
3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal  


Jika Persamaan bola x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau BI = 0 , Maka :
1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola BI = 0 adalah
    x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0
2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola BI = 0 adalah
    x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

Untuk persamaan bola x2+ y2 + z2 = R2  maka persamaan bidang singgung / kutub adalah :
x1x + y1y + z1z = R2
Untuk persamaan bola :
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2 maka persamaan bidang singgung / kutub adalah :
(x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R2

Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola :
x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah
k = x12+ y12+ z12+2Ax1+2By1+2Cz1+D
k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola,
k = 0 jika P pada bola

Bidang kuasa dari dua bola BI = 0 dan BII = 0
BI : x2+ y2+ z2+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0
BII: x2+ y2+ z2+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0 



Persaman bidang kuasa dari dua bola BI dan BII adalah BI - BII = 0 atau
2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0


Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola BI dan BII



Contoh soal :
1.      Tentukan persamaan bola dengan pusat M(-2, 3, 1) dan jari-jari=2 !
Jawab :
Dik : 
Pusat     = M(-2, 3, 1)
jari-jari = 2
Dit ;
Persamaan Bola ?
Penyelesaian :
      (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
      (x – (-2))² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4
      (x + 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4
      ( X2 + 4x + 4) +  (y² – 6y + 9) +  (z² – 2z + 1)  = 4
       X2 + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  = 4
       X2 + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  -  4 = 0
       X2  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 4+ 9+ 1  -  4 = 0
       X2  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0
Jadi, persamaan bola yang berpusat pada titik M(-2,3,1) adalah dan jari-jari 2 adalah 
       X2  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0

2.      Tentukan Titik Pusat dan jari-jari bola yang persamaannya adalah
X2  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0
Jawab :
Dik :
X2  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0
Penyelesaian:
x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0
X2  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0
·         A= 8          a = -½ A =  -½ (8) = - 4
·       B=-10         b = -½B =  -½ (-10) = 5
·         C =-6         c = -½C  = -½ (-6) = 3
·         D = 1
karena  a² + b² + c² – R² = D , maka
R²  =  (-4)² + (5)² + (3)² –1
R²  =  16 + 25 +9 –1
R² = 49
R = √(49)
R = 7
Jadi, Titik pusat bola M( a,b,c) = M( -4, 5, 3) dan jari-jari = 7
 

Baca selengkapnya »
By
Beranda