Bola Pada R³

             Suatu bola, tepatnya (Permukaan Bola) merupakan tempat kedudukan titik ujung vektor-vektor di dalam ruang yang titik awalnya adalah titik tertentu, dan panjangnya adalah konstant.

Titik awal tertentu itu disebut TITIK PUSAT Bola, dan panjang vektor yang konstant itu disebut JARI-JARI Bola.

     Persamaan Bola dengan pusat O(0 , 0, 0) dan jari-jari r adalah;

      

       S= x² + y² + z² = r² ....(I)

Persamaan Bola untuk Pusat Bola adalah M(a,b,c) dan jari-jari = R (lihat gambar berikut)

Ambil titik sebarang P(x˳, y˳, z˳) pada bola, maka berlaku:

MP = OP – OM

= (x˳, y˳, z˳) – (a, b, c)

= (x˳ – a. y˳ – b, z˳ – c)

Sehingga panjang vektor MP adalah │MP│, dimana:

│MP│ = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

Karena │MP│= R (jari-jari bola), maka:

R   = √{ (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²}

R² = (x˳ – a)² + (y˳ – b)² + (z˳ – c)²

Bila titik  P(x˳, y˳, z˳) dijalankan, maka diperoleh TK titik-titik yang dicari, yaitu persamaan Bola. Jadi persamaan Bola  yang berpusat dititik M(a,b,c) dengan jari-jari = R adalah......

                          (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R² ….(II)

Bila persamaan (II) dijabarkan, maka akan diperoleh:

  (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

  ( X² - 2ax + a²) + ( y² – 2by + b²) + (z² – 2cz + c²) = R²

    X² - 2ax + a² +  y² – 2by + b² + z² – 2cz + c²  = R²

   x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0

       x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + a² + b² + c² – R² = 0 … (III)

Dari persamaan (III) diatas, apabila:

·                       -2a = A

·                        -2b = B

·                       -2c = C dan 

·                        a² + b² + c² – R² = D

Maka dari persamaan (III) dapat ditulis sebagai berikut:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 ….(IV)

Persamaan (IV) ini  disebut  BENTUK UMUM persamaan Bola , dan karena:

·                       -2a = A, maka a = -½ A

·                      -2b = B, maka b = -½B

·                        -2c = C, maka c = -½C

Dengan demikian Pusat Bola pada persamaan (IV) diatas adalah...

M(-½A, -½B, -½C) ….(V)

Jadi, bentuk (V) diatas  adalah Rumus koordinat Titik Pusat Bola

Begitu pula karena  a² + b² + c² – R² = D, maka diperoleh :

R² =  a² + b² + c² – D

R² = (-½A)² + (-½B)² + (-½C)² – D

R² = ¼A² + ¼B² + ¼C² – D

         R² = √(¼A² + ¼B² + ¼C² – D) ….(VI)

Bentuk atau persamaan (VI) diatas adalah persamaan untuk JARI-JARI Bola

Untuk bola dengan persamaan  x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0 (IV) diatas  terdapat tiga kemungkinan, yaitu :

1. Bila R² > 0, maka B adalah bola sejati

2. Bila R² = 0, maka B adalah bola titik (jari-jari = 0)

3. Bila R² < 0, maka B merupakan bola khayal  

Jika Persamaan bola x²+ y²+ z²+2Ax+2By+2Cz+D= 0 atau B_I = 0 , Maka :

1. Pers bidang singgung dititik P(x1,y1,z1) yg terletak pada bola B_I = 0 adalah

    x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

2. Pers bidang kutub dari titik sebarang P(x1,y1,z1) terhadap bola B_I = 0 adalah

    x1x+y1y+z1z+A(x+x1)+B(y+y1)+C(z+z1)+ D =0

Untuk persamaan bola x²+ y² + z² = R²  maka persamaan bidang singgung / kutub adalah :
x1x + y1y + z1z = R²
Untuk persamaan bola :
(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R² maka persamaan bidang singgung / kutub adalah :
(x1–a)(x-a) + (y1-b)(y-b) + (z1-c)(z-c) = R²

Kuasa titik P(x1,y1,z1) terhadap bola :
x2+ y2+ z2+2Ax+2By+2Cz+D= 0 adalah

k = x1²+ y1²+ z1²+2Ax1+2By1+2Cz1+D
k >0 jika P diluar bola, k< 0 jika P didalam bola,
k = 0 jika P pada bola

Bidang kuasa dari dua bola B_I = 0 dan B_II = 0
B_I : x²+ y²+ z²+2A1x+2B1y+2C1z+D1= 0
B_II: x²+ y²+ z²+2A2x+2B2y+2C2z+D2= 0 



Persaman bidang kuasa dari dua bola B_I dan B_II adalah B_I - B_II = 0 atau
2(A1-A2)x + 2(B1-B2)y + 2(C1-C2)z +D1-D2 = 0


Persamaan bidang kuasa ini adalah merupakan tempat kedudukan titik – titik yang kuasanya sama terhadap bola B_I dan B_II

Contoh soal :

1.      Tentukan persamaan bola dengan pusat M(-2, 3, 1) dan jari-jari=2 !

Jawab :

Dik : 

Pusat     = M(-2, 3, 1)

jari-jari = 2

Dit ;

Persamaan Bola ?

Penyelesaian :

      (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²

      (x – (-2))² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4

      (x + 2)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4

      ( X² + 4x + 4) +  (y² – 6y + 9) +  (z² – 2z + 1)  = 4

       X² + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  = 4

       X² + 4x + 4 +  y² – 6y + 9 +  z² – 2z + 1  -  4 = 0

       X²  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 4+ 9+ 1  -  4 = 0

       X²  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0

Jadi, persamaan bola yang berpusat pada titik M(-2,3,1) adalah dan jari-jari 2 adalah 

       X²  +  y² +  z² + 4x – 6y  – 2z + 10 = 0

2.      Tentukan Titik Pusat dan jari-jari bola yang persamaannya adalah

X²  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0

Jawab :

Dik :

X²  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0

Penyelesaian:

x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D  = 0

X²  +  y² +  z² + 8x – 10y  – 6z + 10 = 0

·         A= 8          a = -½ A =  -½ (8) = - 4

·       B=-10         b = -½B =  -½ (-10) = 5

·         C =-6         c = -½C  = -½ (-6) = 3

·         D = 1

karena  a² + b² + c² – R² = D , maka

R²  =  (-4)² + (5)² + (3)² –1

R²  =  16 + 25 +9 –1

R² = 49

R = √(49)

R = 7

Jadi, Titik pusat bola M( a,b,c) = M( -4, 5, 3) dan jari-jari = 7